Calcul d'une vitesse instantanée - Exemple 3

Soit `f`  la fonction représentant la distance, en mètres, parcourue par un corps en chute libre en fonction du temps exprimé en secondes. 

Considérons un corps au repos à une hauteur  \(\text{H}\) par rapport à la surface de la Terre. On laisse tomber ce corps en chute libre et on modélise la distance, en mètres, qu'il parcourt en fonction du temps, exprimé en secondes, par la fonction `f` définie sur `[0;\text{H}]` par :  \(f(t)=4,9t^2\) . 

L'objectif de cet exemple est de calculer le nombre dérivé de la fonction  `f` en `a=1` puis d'interpréter ce résultat dans le contexte physique modélisé.

Étudions la dérivabilité de  `f`  en  `a=1` . Soit  `h`  un réel non nul tel que `1+h`  appartient à `]0;\text{H}]` .
On a : 

`\tau_1(h)=\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\frac{4,9(1+h)^2-4,9}{h}`

`\tau_1(h)=\frac{9,8h+4,9h^2}{h}=9,8+4,9h`  

donc  \(\lim_\limits{h\rightarrow0}\tau_1(h)=9,8\) . 

Ainsi, la fonction  `f`  est dérivable en  `1`  et  \(f'(1)=9,8\) .  

Dans le contexte de l'exemple,  `\tau_1(h)` est un rapport entre une distance et un temps, c'est-à-dire une vitesse. On l'appelle vitesse moyenne entre \(1\) et \(1+h\) .

Le nombre dérivé correspond à la valeur limite de la vitesse moyenne lorsque  \(h\) tend vers  \(0\) , c'est-à-dire quand on considère un intervalle de temps de plus en plus petit. Ce nombre est  aussi une vitesse, appelée vitesse instantanée du corps à l'instant \(t=1\) s.